'이산(離散)'이라는 말은 '서로 떨어져 흩어져 있음'을 의미하며, 이산에 해당하는 영어단어인 discrete는 연속(continuous)에 대비되는 뜻을 가지고 있다. 그러므로, '이산수학'이라는 말은 서로 떨어져 있는 대상들이 갖는 수학적 원리 및 내용에 관한 공부임을 추측할 수 있다.
수학은 자연(the nature, 실생활)에서 보거나 접할 수 있는 대상 또는 개념에 대한 보편적 성질을 탐구하는 학문이다. 수학은 우리가 다루고자 하는 개념이나 대상을 양(量, quantity)으로 변환하는 정량화(定量化, quantification) 과정을 거치는데, 이렇게 양(量)으로 표현된 대상은 크기비교가 가능하게 되고, 더 나아가 숫자로 표현되면서 연산이 가능하게 되어 보편성을 갖는 학습의 대상이 된다.
숫자 중에서 1, 2, 3,
을 지칭하는 자연수(natural numbers)는 그 이름에서도 알 수 있듯이, 자연발생적인 수로서 존재의 의미를 내포한다. 어떠한 대상이 존재하면 1이라 하고, 그와 같은 1이 또 있다면 2 라 부르고, 1이 더 있다면 3이라 하는 식의 순차적, 단계적 과정을 거쳐 자연수를 이해한다. 이러한 자연수는 모든 수의 기준이 되며, Cantor의 무한집합의 개념으로 보면 셀 수 있음(countability, denumerability)과 셀 수 없음(uncountability)의 개념을 가르는 기준이 되기도 한다.
이산이라는 개념과 연속이란 개념이 갈라지는 분기점 또한 자연수라고 할 수 있다. 자연수는 순서 원리(well-ordering principle)를 따르는데, 이는 모든 자연수는 특정한 하나의 수 
에서 시작하여 순차적이며 단계적인 과정을 거쳐 다른 모든 자연수에 이를 수 있다는 의미를 갖는다. 이와 같은 의미는 순차적이며 구체적인 단계적 과정을 지칭하는 알고리즘(algorithm)이라는 말로 설명된다. 다시 말하면, 이산이라는 개념은 셀 수 있음이란 개념과 마찬가지로 알고리즘에 의하여 이해가 가능한 개념으로, 시작점이 있으며 그 시작점으로부터 출발하여 순차적으로 구체적 단계를 거쳐 모든 것을 이해할 수 있는 개념인 것이다.
한 예를 살펴보기로 하자. 야구공을 벽을 향해 던진다고 가정하자. 그러면 그 공이 벽에 다다를 수 있느냐가 그의 질문인 것이다. 우리는 이미 공을 던져봄으로써 공이 벽에 부딪쳐서 튀어나옴을 알고 있다. 하지만, 논리적 설명을 다음과 덧붙인다면 어떠할까? 우선 벽을 향해 공이 날아가고 있다고 상상해보자. 그러한 상황을 보다 확실히 확인하기 위해 캠코더로 비디오 촬영을 하기로 하자. 예를 들어, 벽에서부터의 거리가 
에서 
까지의 구간에서의 공이 날아가는 모습을 촬영하여 
배로 확대하여 보여준다면 우리는 아마 공을 던지던 지점에서 벽에서부터의 거리가 
인 지점까지 공이 날아가는 모습을 다시 보는 것과 같을 것이다. 벽에서부터의 거리가 
에서 
까지의 구간에서의 공이 날아가는 모습을 
배로 확대하여 보여준다면, 또 이와 같은 과정을 계속 반복한다면? 아마 제일 처음의 과정을 또다시 보는 것과 같을 것이며, 공이 마치 영원히 벽에 부딪치지 못할 것처럼 여겨질 것이다. 그러면 과연 이러한 과정을 반복하는 공의 움직임이 공이 벽에 부딪치는 사실을 설명할 수 있는가 하는 것이 제논의 질문이었다.
당시 그리스의 지식인들은 이와 같은 제논의 질문에 제대로 답을 할 수가 없었는데, 이와 같은 질문은 결국 
로 주어지는 무한등비급수의 합이 존재하는가 하는 문제와 같다. 이 무한등비급수의 합은 야구공이 날아간 거리로서 
이 되고, 이는 유한한 값이므로, 공의 속도를 생각한다면 결국 유한한 시간 안에 공이 벽에 부딪칠 수밖에 없지 않은가? 이와 같이 제논의 질문은 무한등비급수의 합이 존재함을 보임으로써 답이 가능하게 되었다. 제논의 질문은 수열에 대한 극한의 개념을 유도해냈고, 이는 17세기에 이르러서 Newton과 Leibniz의 미분적분학(calculus)이란 연속과 극한의 개념을 이용하는 수학으로 결실을 맺게 된다. 미분적분학은 이산수학(discrete mathematics)에 대비하여 연속수학(continuous mathematics)이라고 불리기도 하는데, 20세기 현대과학의 눈부신 발전을 이루는 밑바탕이 되었다. 여기까지의 수학의 역사는 이산의 개념에서 연속의 개념으로 전환되는 과정이었다고 말해도 무방하리라고 생각된다.
20세기의 과학혁명의 결실은 컴퓨터의 발명과 발전, 인터넷의 개발과 폭발적 대중화, 정보통신 기술의 급진적 발달 등으로 인하여 사회의 정보화를 이루게 되었고, 전세계를 하나의 문화권으로 묶어나가고 있다. 또한 컴퓨터 과학의 급속한 발달은 수학의 이론적 개발에 있어서도 컴퓨터의 계산능력을 활용하게 만들기에 이르렀다. Cantor의 무한집합의 개념과 함께 모든 실수는 유리수의 극한으로 볼 수 있다는 사실로부터, 연속수학으로 설명되는 자연현상까지도 결국 이산적 개념(즉, 일종의 수열)의 극한으로 설명이 가능함을 알 수 있다. 극한이 존재하는 수열의 경우에는 어느 정도 반복과정 후의 계산 결과가 그 수열의 극한값과 거의 차이가 없게 되는데, 이는 굉장히 빠른 속도로 반복계산이 가능한 컴퓨터의 계산능력의 활용이 가능함을 의미한다.
우리가 일상생활에서 실제로 사용하는 숫자는 기껏해야 유리수뿐이다. 예를 들면, 실제 길이가 
인 막대의 길이를 잰다해도 우리는 결국 1.4 또는 1.41 등으로 얘기할 것이며, 더욱 정밀하게 길이를 측정하여도 1.4.142135623 과 같이 또 다른 유리수를 말하게 될 뿐이지 실제 
자체를 사용하지는 않는다. 이와 같은 예는, 연속 개념의 실수의 집합을 이산적 개념의 유리수로 이해하는 것과 같으며, 이것이 연속인 아날로그(analog) 정보를 이산적인 디지털(digital) 정보로 이해하는 과정을 의미하며, 이러한 연속의 개념에서 이산의 개념으로의 전환이 21세기의 정보화세계를 열었다고 할 수 있는 것이다.
이산수학은 이산대상물들(discrete objects)의 연구에 비중을 두는 수학의 한 분야이다. 여기서 이산은 서로 다르거나 혹은 연결되어 있지 않는 원소들로 구성하는 것을 의미한다. 이산(discreteness)이란 연속에 대비되는 용어로서, 별개의 요소로 이루어진 상태를 말한다. 이산수학이나 연속수학에서 취급되는 세부분야나 혹은 이용되는 기법은 많은 경우에 동일하다. 예를 들면, 이들 두 가지 수학 모두가 대상의 집단과 그 집단에 대해 정의되는 구조에 관련된 분야를 갖는다. 이러한 대상의 집단은 집합이라 불리며, 연속수학에서는 실수의 집합과 같은 무한집합을, 이산수학에서는 한정된 범위의 정수집합과 같은 유한집합을 연구대상으로 삼는다.
이산수학을 이용해서 풀 수 있는 문제의 종류는 다양하지만 일부만 소개하면 다음과 같은 것들이 있다.
(1) 컴퓨터 시스템에서 유효 암호를 선택할 수 있는 방법의 수
(2) 교통망에서 두 도시를 연결하는 최단 거리
(3) 정수들의 리스트에서 증가하는 숫자로 분류하는 방법
이산수학에서는 이러한 문제들을 풀기 위해서 필요한 이산구조의 기초를 공부 할 것이다. 더 일반적으로 이산수학은 대상물들이 헤아려지고, 유한집합들간의 관계가 고려되던가, 유한단계가 고려되는 분석과정에서는 더구나 잘 사용되고 있다.
미국에서도 이산수학이 대학의 교과 과정에 적극적으로 반영되기 전인 80년대 중반에 Alfred P. Sloan 재단이 "대학의 예과에서 이산수학이 미적분학과 같은 비중으로 다루어지는 새로운 교과 과정의 개발"이란 주제로 지원하여 플로리다 주립대등 6개 대학에서 1984-1986년 사이에 시범 운영을 했다. 미국수학교육학회(MAA)는 1989년 Anthony Ralston 교수 주관으로 그 결과를 보고하고 대안을 보고서인 "Discrete Mathematics in the first two years"을 통하여 제시하였다[6]. 이에 의하면 미국에서도 당시 미국의 수학자들조차도 "이산수학이란 무엇인가?"라는 질문에 쉽게 답을 못하는 경우가 많았다고 한다. 사실 우리도 지금 이 질문에 대한 쉽고 간단한 답을 주기는 어렵다. 어떤 이들은 이산수학을 "연속수학(Continuous Mathematics)"의 여집합이라고 말하기도 하는데 우리가 잘 알고있다시피 미적분학(Calculus)이 바로 연속수학의 한 예이다. 또한 미적분학은 물리학의 기초이며 물리학은 우리의 실생활에 기여한 공학적 경이로움의 기초가 됨을 잘 알고 있다. 그러나 컴퓨터의 발달로 이제는 이산수학의 중요성이 다시 강조되어지고 있다. 컴퓨터공학(computer science)에서는 이에 대해 "이산구조론(Discrete Structures)"이라는 과목을 개설하고 있으며, 경영학 혹은 사회과학분야에서도 "유한 수학(Finite Mathematics)"이라는 과목을 가르치고 있다[7, 8].
현대수학과 과학의 많은 분야가 이산수학과목에서 시작된다는 것을 알고 있은 사람은 많지 않다. 조합론, 그래프이론, 이산구조론, 선형대수학, 수치해석, 디자인이론, 선형계획법, 조합적 행렬론, 최적화이론등은 현대 수학과 과학에서 꼭 필요한 연구 분야이며, 이 모든 과목의 시작이 '이산수학'이다. 즉, 현대 수학 이론과 공학적 이용으로 이어지는 다리 역할을 이산수학이 하는 것이다.
실제로 '이산수학'에서는 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 활용하여 실생활에서 일어나는 유한이나 불연속의 이산 상황의 문제를 수학적으로 분류하고, 논리적으로 사고하여 합리적으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기른다. 또, 수학 학습에서 습득된 지식과 기능을 활용하여 실생활의 여러 가지 이산적인 상황을 수학적으로 간결히 표현하고 처리하는 것이 가능하도록 한다. 또한, 전 영역에 걸쳐서 복잡한 계산이나 문제 해결을 위하여 계산기나 컴퓨터를 적극적으로 활용하는 것이 가능한 교과이다. 더구나 컴퓨터 또는 정보기술 응용 분야에서 활동하려 한다면 이산수학과 관련된 주제를 우선 살펴보아야 한다. http://www. computer.org/education/cc2001/report/index.html 에서 보듯이 미국 계산기학회 및 전기전자공학자회 [Association for Computing Machinery 와 The Institute of Electrical and Electronics Engineers (ACM/IEEE)]는 교과과정의 2001년 수정판에서 관련 공학에서 수학과 관련된 필요한 지식 단위를 정리하여 보고한 바 있다[10]. 이 내용을 보면 관련 공학 분야에서 요구되는 수학 지식의 대부분을 이산수학에서 요구하고 있음을 알 수 있다. 그 보고서에서 몇 가지 예를 들면 함수와 집합, 논리, 증명의 기법, 세기의 법칙, 그래프와 수형도, 알고리즘과 점화식, 알고리즘과 복잡도의 지식이 관련 공학에 필요한 지식들이라고 명시하고 있다. 위에서 보듯이 컴퓨터과학 또는 공학도에게 필수적인 수학적 지식의 대부분이 "이산수학"과 관련되어 있음을 알 수 있다. 이런 수학적 기초를 고교 시절 이산수학과목에서부터 다져간다고 볼 수 있다.
좀 더 구체적으로 설명하자면 이산수학에서 다루는 네트워크는 물류의 유통, 송유관을 통한 기름의 이동과 직접적으로 관련되며 각각의 경우에 최적의 네트워크 흐름도를 찾는 문제가 제기 된다. 네트워크의 최적 흐름도 문제는 그래프 이론이과 OR(Operation Research)이론에 모두 포함되며 순회판매원문제는 그래프이론과 OR이론에 또 다른 문제를 제공한다. OR이론은 어떤 시스템의 수행에 있어서의 최적의 조건과 관련된 광범위한 연구를 말한다. OR이론의 전형적인 문제들로는 네트워크문제, 자원 분배문제, 인력 할당 문제 등이 있다. 또 그래프이론은 데이터구조나 최적화방법과 같은 분야의 응용과 해석, 그리고, 유한대수적구조는 암호이론, 세기(counting)의 효과적인 알고리즘, 조합적 디자인의 원리와 접목된다. 이들은 데이터구조, 컴퓨터 언어론, 알고리즘 분석등 컴퓨터공학에 풍부한 기초를 제공하게 되며, 또한 이것들은 통계학이나 사회과학뿐만 아니라, 공학, 물리학, 자연과학 등의 응용에도 이용된다.
한가지 예를 들어보자 복잡한 시스템의 안전성(reliability)에 대한 판단은 시스템을 구성하는 개별적 구성요소의 안전성에 기초한다. 이러한 문제들은 통신이나, 유통에서 서로의 구성요소들간의 관계를 네트워크에서의 꼭지점(nodes)과 변(edges)으로 모델링한다. 네트워크의 안전성의 측정에 대한 다양한 알고리즘이 있는데 이러한 알고리즘중의 하나가 경로(path)에 대한 개념에서 기초한 시스템 함수의 작동관계를 최소의 연결자(minimal set of edges)이다. 이러한 관점에서 각각의 경로의 계산(세기)뿐만 아니라 포함과 배제의 원리 또는 서로 소인 사상으로의 분할을 이용하여야 하기 때문에 이산수학의 지식은 과거에 미적분학이 그랬듯이 현대의 자연과학, 공학, 사회과학에서 필수적인 지식으로 여겨지는 것이다.
고교과정에서 배운 기초지식을 전제하고 대학의 이산수학 입문 과정에서는 다음과 같은 내용을 다룬다. 기본적으로 수학적 귀납법, 알고리즘의 복잡도 및 수렴 속도를 비교하며, 세기의 기본법칙, 순열과 조합, 일반화된 순열과 조합, 일반화된 비둘기 집의 원리, 포함 배제 원리, 배열의 존재성을 보이는 법, 이항계수를 이용하여 조합적 항등식을 찾는 법, 점화식, 행렬의 의미와 이용, 그래프의 뜻을 이해와 그래프의 행렬 표현, 여러 가지 수형도 및 생성수형도를 찾는 문제. 경로 및 회로, 오일러 경로 및 회로, 해밀턴 경로 및 회로, 순회 판매원 문제, 평면그래프, 이분그래프와 매칭사이의 관계, 2×2 게임의 전략, 선거와 정당성, 최적화 계획을 세우는 법, 그래프와 최적화 사이의 관계의 이해 등이다. 
출처 : http://matrix.skku.ac.kr/sglee/2003-1-NewFacTalk/2002-contents-Final/main/main.htm
